ความน่าจะเป็นของผลรวมของเลขที่ออกของการโยนลูกเต๋า 3 ลูก ด้วยการจำลองมอนติคาโล(The probability of the sum of three dice rolls by Monte carlo simulation )

ในบทความนี้จะนำเสนอความน่าจะเป็นของผลรวมเลขที่ออกของการโยนลูกเต๋าพร้อมกัน 3 ลูก ด้วยการจำลองมอนติคาโล เรามาดูว่า ความน่าจะเป็นจะเป็นอย่างไร จากบทความที่แล้ว เราทราบว่า ความน่าจะเป็นของการออกเลขต่างๆของลูกเต๋า ทั้ง 6 หน้า มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน (Uniform Distribution) แบบจำลองของการหาผลรวมของเลขที่ออกในการโยนลูกเต๋า 3 ลูก เราจะเขียนในสูตร Excel ได้ดังนี้

= RANDBETWEEN(1,6) + RANDBETWEEN(1,6) + RANDBETWEEN(1,6)

ใช้ Data Table จำลองการโยนลูกเต๋า 3 ลูก โดยจะขอจำลองการโยนลูกเต๋า 2,000 ครั้ง  กำหนดให้ ผลรวมที่เกิดจากการสุ่ม ใน Cell E6 = C3

เลือก Cell D7:E2006 สำหรับ ใช้ใน Data Table ดังรูป 

จะปรากฎหน้าต่าง Data Table เลือก Cell ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการการคำนวณและการแสดงผลลัพธ์ ดังรูป

กดปุ่ม ตกลง จะได้ผลลัพธ์การจำลองโยนลูกเต๋า  3 ลูก พร้อมๆกัน 

โอกาสของผลรวมของเลขที่ออกในการโยนลูกเต๋า 3 ลูก ที่เป็นไปได้ คือ 3 - 18

เราจะใช้สูตร Excel : Frequency ในการนับจำนวนครั้งของผลรวมของเลขที่ออกในการโยนลูกเต๋า 3 ลูก จำนวน 2,000 ครั้ง และสามารถแสดงการกรจายจำนวนครั้งของผลรวมของเลขที่ออกในการโยนลูกเต๋า 3 ลูก จำนวน 2,000 ครั้ง ด้วยการพล็อต ฮิสโตแกรม ดังภาพ

จากฮีสโตแกรม เราจะพบว่า เป็นการกระจายตัวใกล้เคียง กับการกระจายแบบปกติ โดยโอกาสการเกิดผลรวมของเลขที่ออกการโยนลูกเต๋า 3 ลูก ต่ำกว่า 11 มีมากกว่า โอกาสการเกิด ผลรวม มากกว่า 11 เล็กน้อย ซึ่งแน่นอนว่า โอกาสที่เราจะเดาถูกและเดาผิดไม่ต่างกันมากนัก

จากตัวอย่างนี้เป็นการนำเสนอเทคนิดการจำลองด้วยมอนติคาโล อีกตัวอย่างหนึ่งเพื่อให้ท่านผู้อ่านเข้าใจเทคนิคการจำลองด้วยมอนติคาโลยิ่งขึ้น

ประมาณค่า PI โดยการจำลองมอนติคาโล (Monte carlo Simulation By Excel)

บทความนี้ยังอยู่ใน ปฐมบท การสร้างแบบจำลอง และการจำลองโดยใช้ฟังก์ชั่น ใน Excel อยุ่นะครับ โดยในการจำลองต่างๆจะอาศัยเทคนิคหรือแนวคิดของการจำลองมอนติคาโล เป็นพื้นฐานครับ กล่าวคือการจำลองมอนติคาโล เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้คาดการณ์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ต่างๆที่ไม่แน่นอน ซึ่งปัจจุบันเรามีคอมพิวเตอร์ที่ความเร็วสูงมาช่วยในการคำนวณ โดยอาจจะอาศัยข้อมูลในอดีต มาทำนายอนาคต ตามความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นได้ ดังนั้นใน Content นี้ จึงจะยกตัวอย่างการใช้เทคนิคการจำลองมอนติคาโล มาให้ท่านผู้อ่านได้ทำความเข้าใจเพื่อนำไปประยุกต์ใช้การจำลองสำหรับแก้ปัญหาในด้านต่างๆในชีวิตจริง เช่น Business Finance เกมส์ออนไลน์ Engineering เป็นต้น

เรามาศึกษา Classic Problem สำหรับการจำลองมอนติคาโล กันครับ นั่นคือ การประมาณค่า PI ซึ่งเรารู้กันแล้วว่า ค่า PI ที่ใช้ เป็นจำนวน อตรรกยะ นั่นคือ เป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ หรือค่าเป็นทศนิยมไม่รู้จบ นั่นเอง โดยหากจะใช้กันในทางวิศวกรรม ก็อาจจะใช้ PI = 3.14159...... เป็นต้น เรามาดูแนวคิดการประมาณค่า PI กันวิธีหนึ่งครับ พิจารณารูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส กว้าง 2R หน่วย ภายในบรรจุวงกลม รัศมี  R หน่วย 

เราจะสร้างแบบจำลอง สัดส่วนของ พื้นที่วงกลมต่อ พื้นที่สี่เหลี่ยม (RA) โดย

RA = PI*R^2/(2R)^2 = PI/4

RA = PI/4

ดังนั้น 

PI = RA*4

เราจะจำลองเหตุการณ์ โดยสุ่มจุดในพิกัด x, y ในขอบเขต สี่เหลี่ยมจัตตุรัสขึ้นมา และจะพิจารณาว่าจุดที่สุ่มขึ้นมาอยู่ในวงกลมหรือไม่ และเมื่อสร้างเหตุการณ์สุ่มจุดต่างๆขึ้นมาเป็นจำนวนมาก เราจะพบว่า 

สัดส่วนของจุดที่อยู่ในวงกลม (พื้นที่) ต่อ จุดทั้งหมดที่อยู่ในสี่เหลี่ยม คูณด้วย 4 จะมีค่าเข้าใกล้ค่า PI มากขึ้น  มาดูการใช้ Excel ช่วยการจำลองมอนติคาโลกันเลยครับ

สมมุติ เรากำหนด R = 0.5 หน่วย จุดศูนย์กลางอยู่ในพิกัด 0,0 

เราจะสุ่มจุดพิกัด x ,y ขึ้นมาโดยใช้ฟังก์ชั่น RAND ตามที่เคยได้อธิบายในLink นี้นะครับ

โดยเราจะสุ่มให้พิกัด x , y อยู่รหว่าง -0.5 ถึง 0.5 เขียนเป็นสูตร Excel ได้ดังนี้ครับ

พิกัด x = (0.5+0.5)*RAND()-0.5

พิกัด y = (0.5+0.5)*RAND()-0.5

การตรวจสอบพิกัด x,y ว่าอยู่ในวงกลมหรือไม จะเขียนสูตร Excel ได้ดังนี้

IF(SQRT(x^2+y^2)<= 0.5 , true,false)

ผลการจำลองแสดงดังภาพ

ขั้นตอนต่อไปเราจะเริ่มจำลองเหตุการณ์ การสุ่มพิกัด x ,y โดยในตัวอย่างขอ จำลองการสุ่มทั้งหมด 10,000 ครั้ง สร้างตัวเลข Trial ในหลัก G ตั้งแต่ G7:G10006 และกำหนดให้

ผลการตรวจสอบพิกัด x,y ว่าอยู่ในวงกลมหรือไม่ ใน  H6 = F4

กำหนดพิกัด x ใน  I6 = C4

กำหนดพิกัด y  ใน J6 = D4

ใช้คำสั่ง Data table ในการช่วยสุ่มพิกัด x , y จำนวน 10,000 เหตุการณ์ โดยเลือก G6:J10006

ในหน้าต่าง Data table ให้คลิกเลือก Cell ช่องว่าง นอกพื้นที่ที่เราเลือก เนื่องจาก ไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงค่าในสูตรคำนวณอื่นๆ ผลการคำนวณด้วย Data Table แสดงได้ดังภาพ

เราจะเขียนสูตร Excel เพื่อช่วยแยกจุดที่อยู่ในวงกลม โดยเขียนสูตรไว้ดังนี้

K7 = IF(H7=TRUE , I7 , 0) 

L7 = IF(H7=TRUE . L7,0)

นับจำนวนจุดที่อยู่ในวงกลมได้โดยเขียนสูตร Excel ได้ดังนี้

N5 = COUNTIF($H$7:$H$10006,TRUE)

เราสามารถประมาณค่า PI ได้ ตามสูตรดังนี้

PI = N6 = 4*N5/10000

ผลการจำลองแสดงได้ดังภาพ

และเราสามารถนำพิกัด x,y ที่จำลองได้ไปพล๊อตกราฟ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องได้ดังภาพครับ

ถ้าเราสุ่มพิกัด x,y มากขึ้น ค่า PI ที่ประมาณก็จะมีความถูกต้องมากขึ้นครับ

ในบทความต่อๆไป เราจะนำเสนอการนำ การจำลองมอนติคาโล มาช่วยแก้ปัญหาต่างๆในชีวิตประจำวันของเรากันต่อครับ

การสร้างเลขสุ่มแบบ Uniform distribution ด้วยสูตร Excel : RAND

สวัสดีครับ วันนี้จะเสนอความหมายกายภาพของ การสุ่มตัวเลขด้วยฟังก์ชั่น Excel : RAND() ฟังก์ชั่น RAND() เป็นฟังก์ชั่น ที่สร้างตัวเลขสุ่ม ระหว่าง 0 - 1 ซึ่งตัวเลขทุกค่ามีโอกาสสุ่มขึ้นมาได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่าๆกัน โดยในทางสถิติ จะเรียกการแจกแจงแบบนี้ว่า Uniform distribution นอกจากฟังก์ชั่น RAND() แล้ว หากต้องการสุ่มจำนวนเต็ม Excel ได้เตรียมฟังก์ชั่น RANDBETWEEN(bottom,top) ไว้ให้เรียบร้อยแล้ว เรามาดูตัวอย่างลักษณะการแจกแจงของเลขสุ่มดูครับ

เราทราบกันดีว่าในการทอยลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะออกหน้า 1 , 2 , 3 ,4 ,5,6 มีเท่าๆกัน ดังนั้น เรามาจำลองการทอยลูกเต๋า ซัก 10,000 ครั้งกันดูครับ โดยใช้ คำสั่ง Data Table ช่วยในการจำลองการทอยลูกเต๋าทั้ง 10,000 ครั้งกัน มาเริ่มกันเลยครับ

ป้อนสูตร Excel ที่ 

C5 = RANDBETWEEN(C2,C3)   เป็นการสุ่มหน้าลูกเต๋า 1 - 6  

สร้างลำดับการทอยลูกเต๋า 10,000 ครั้ง ตั้งแต่ C9:C10008

กำหนดผลการทอยลูกเต๋า C8 = C5

ดังรูป

เราจะเริ่มจำลองการทอยลูกเต๋าทั้ง 10,000 ครั้ง โดยใช้คำสั่ง Data Table โดยให้ คลิก เลือกช่วง B8:C10008

ไปที่เมนู ข้อมูล เลือก การวิเคราะห์ข้อมูลแบบ What -if เลือก ตารางข้อมูล จะปรากฎหน้าต่าง ตารางข้อมูล ขึ้นมา ให้เลือก C6 หรือ เซลล์ ที่ไม่มีข้อมูลใดๆก็ได้ ดังแสดงในภาพ

กดปุ่ม ตกลง

จะได้ผลลัพธ์การทอยลูกเต๋าจำนวน 10,000 ครั้ง ดังภาพ

มาถึงขั้นตอนการวิเคราะห์ลักษณะการกระจายตัวของผลการทอยลูกเต๋าเพื่อยืนยันว่า การทอยลูกเต๋าเป็นการกระจายแบบ Unifom Distribution ซึงมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน เราจะใช้ฟังก์ EXCEL : FREQUENCY เพื่อนับจำนวนครั้งของการออกหน้าต่างๆของลูกเต๋า โดยมีขั้นตอนดังนี้

เรียงหน้าลูกเต๋า ตั้งแต่ 1 - 6 ใน หลัก E9 - E14 

คลิกเลือก D9:D14
พิมพ์สูตร Excel = FREQUENCY(C9:C10008,E9:E14) ดังภาพ

กดปุ่ม Shift+Ctrl +Enter และนำผลลัพธ์ไปพล็อตด้วยกราฟแท่งแสดงได้ดังภาพ

เราจะเห็นว่าการกระจายตัวของผลการทอยลูกเต๋า มีโอกาสเกิดขึ้นในแต่ละหน้าเท่าๆกัน ถ้าเราเพิ่มการทอยลูกเต๋าขึ้นไปเป็น 100,000 ครั้ง การกระจายของการทอยลูกเต๋าก็จะ Uniform มากขึ้น

มาถึงตรงนี้ เราสรุปได้ว่า ฟังก์ชั่น RAND() , RANDBETWEEN(bottom,top) ให้เลขสุ่มที่มีการกระจายแบบ Uniform มีความน่าจะเป็นที่จะได้เลขสุ่มเท่าๆกัน 

ในกรณีที่ต้องการเลขสุ่ม ระหว่างจำนวน a - b เราสามารถใช้ใช้สูตร EXCEL :  RAND() ได้ดังนี้

= (b-a๗*RAND() + a

การกระจายแบบ Uniform ในชีวิตประจำวันมีมากมาย ในการจำลองความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ต่างๆ ก็จะใช้ฟังก์ชั่น RAND หรือ RANDBETWEEN ได้ครับ เช่น

มีรายได้พิเศษประจำเดือน 1,500 - 3,500 บาท (ขึ้นอยู่กับเวลา)  สามารถจำลองรายได้พิเศษประจำเดือนได้โดยใช้สูตร

(3500-1500)* RAND() + 1500

ค่าซักผ้า ค่าผงซักฟอก ค่า น้ำยาปรับผ้านุ่ม ประจำเดือน  1,500 - 2,500 บาท (ขึ้นอยู่กับ เครื่อง ปริมาณผ้าที่ซัก เป็นต้น) สามารถจำลองค่าใช้จ่ายโดยใช้สูตร 

(2500-1500)*RAND() + 1500

นอกจากนี้แล้วเรายังสามารถสุ่มความน่าจะเป็นของการกระจายตัวทางสถิติอื่นๆ เช่น นำไปจำลองข้อมูลที่กระจายตัวแบบปกติ ตัวอย่างสูตร Excel 

NORM.INV(RAND(),mean,std) เป็นต้น

ในตอนต่อๆไปจะนำเสนอการจำลองในปัญหาต่างๆ ในชีวิตประจำวัน

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

การประมาณค่า PI โดยการจำลองมอนติคาโล

Simulation with Excel

บทความนี้ต้องการนำเสนอ การทำ Simulation ด้วยโปรแกรม Excel นะครับ ก่อนอื่น มารู้จักการ Simulation ก่อน Simulation คือ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้อธิบายเหตุการณ์หรือพฤติกรรมต่างๆที่เรากำลังสนใจ และต้องมีการเปรียบเทียบผลจากการ Simulation กับ ผลที่เกิดขึ้นจริง หากผลการ Simulation อธิบายได้ไม่ใกล้เคียงกับความจริง เราต้องกลับไปปรับแบบจำลองคณิตศาสตร์ และ ทดสอบ Simulation อีกครั้ง ทีนี้มาดู ฟังก์ชัน Excel ที่เกี่ยวข้องกับการทำ Simulation กันก่อน โดยปกติ ในการ Simulation มักจะเริ่มสุ่มตัวแปรอิสระและนำเข้าแบบจำลองคณิตศาสตร์ ดังนั้นในบทความนี้จะแนะนำ ฟังก์ชัน Excel  2 ฟังก์ชั่น ที่เกี่ยวข้องกับการสุ่มตัวแปรอิสระ ดังนี้ครับ

1. ฟังก์ชั่น RAND() ฟังก์ชันนี้จะส่งกลับตัวเลขในระหว่าง 0 - 1 กลับมา เราสามารถเขียนสูตร Excel ได้ง่ายๆ ดังนี้ =RAND()

2. ฟังก์ชั่น RANDBETWEEN(bottom,top) ฟังก์ชั่นนี้จะส่งกลับเลขจำนวนเต็ม ตั้งแต่ bottom ถึง top  เราสามารถเขียนสูตร Excel ได้ง่ายๆ ดังนี้ =RANDBETWEEN(2,10) Excel จะคืนค่าเลขสุ่มจำนวนเต็มตั้งแต่ 2 ถึง 10

มาดูตัวอย่างการใช้ฟังก์ชั่น RAND()

การใช้ สถิติช่วยในการหาความน่าจะเป็น สมมุติเราทราบว่าข้อมูลประชากรมีการกระจายตัวแบบ Normal Distribution  และมีค่าเฉลี่ย  100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15

หากเราต้องการทราบค่าของข้อมูลที่สนใจใดๆ ซึ่งความน่าจะเป็นถูกสุ่มขึ้นมาจากฟังก์ชั่น RAND เราสามารถเขียนแบบจำลองคณิตศาสตร์ได้ภาพ

จากภาพ หากกด F9 อีกครั้ง ค่าความน่าจะเป็นจะถูกสุ่มระห่าง 0 - 1 ข้อมูลที่คำนวณได้ในช่อง B5 ก็จะเปลี่ยนไป ตามค่า ในช่อง B4 ครับ

ตัวอย่างนี้ก็จะเป็นตัวอย่างง่ายๆในการ Simulation หาตัวแปรสุ่มในข้อมูลที่กระจายตัวแบบ Normal Distribution ในบทความต่อๆไป ผมจะนำเสนอแนวคิดในการ Simulation ด้วย Excel ในปัญหาต่างๆครับ

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

1. การสร้างเลขสุ่มแบบ Uniform Distribution

2. การประมาณค่า PI ด้วยการจพลองมอนติคาโล

3. ความน่าจะเป็นของผลรวมของเลขที่ออกของการโยนลูกเต๋า 3 ลูก